4. Zadatak

Neka je $q$ racionalan broj takav da je

$$\frac{\sqrt2+\sqrt a}{\sqrt3+\sqrt b}=q.$$

Jednakost se može zapisati u ovom obliku

$$\sqrt a-q\sqrt b=q\sqrt3-\sqrt2.$$

Nakon kvadriranja dobiva se

$$\begin{aligned}a+q^2b-2q\sqrt{ab}&=3q^2+2-2q\sqrt6,\\2q(\sqrt{ab}-\sqrt6)&=a+q^2(b-3)-2.\end{aligned}$$

Odavde slijedi da je $\sqrt{ab}-\sqrt6=q_1$ racionalan broj.

Nakon kvadriranja jednakosti $\sqrt{ab}=\sqrt6+q_1$, dobiva se $ab=6+q_1^2+2q_1\sqrt6$, ili zapisano u ekvivalentnom obliku $2q_1\sqrt6=ab-6-q_1^2$. Posljednja jednakost može vrijediti samo ako je $q_1=0$.

Tada je $ab=6$, pa preostaje provjeriti sljedeća četiri slučaja:

$$a=1,\ b=6\quad\Rightarrow\quad q=\frac{\sqrt2+1}{\sqrt3+\sqrt6}=\frac1{\sqrt3},$$

iracionalan broj,

$$a=2,\ b=3\quad\Rightarrow\quad q=\frac{2\sqrt2}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt2}{\sqrt3},$$

iracionalan broj,

$$a=3,\ b=2\quad\Rightarrow\quad q=\frac{\sqrt2+\sqrt3}{\sqrt3+\sqrt2}=1,$$

racionalan broj,

$$a=6,\ b=1\quad\Rightarrow\quad q=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{\sqrt3+1}=\sqrt2,$$

iracionalan broj.

Dakle, racionalan broj se dobiva samo za $a=3$, $b=2$.