5. Zadatak

Označimo s $R$ polumjer polukugle, s $r$ polumjer malih kugli, te s $d$ udaljenost središta polukugle od dirališta male kugle s ravnom stranom polukugle.

Trebamo odrediti vezu između polumjera $R$ i $r$. Uočimo da su središte polukugle, središte jedne manje kugle i pripadno diralište vrhovi pravokutnog trokuta s katetama $r$, $d$ i hipotenuzom $R-r$.

Vidimo da tri dirališta malih kugli s ravnom plohom čine trokut sukladan trokutu kojeg tvore središta tih kružnica, a to je jednakostranični trokut stranice $2r$. Zato je

$$d=\frac23\cdot\frac{(2r)\sqrt3}{2}=\frac{2\sqrt3}{3}r.$$

Zato iz

$$R-r=\sqrt{r^2+d^2}$$

uvrštavanjem dobivenog izraza za $d$ dobivamo redom

$$R-r=\sqrt{r^2+\frac43r^2},$$ $$R=r\left(1+\sqrt{\frac73}\right),$$ $$r=\frac{R\sqrt3}{\sqrt3+\sqrt7}=\frac{R(\sqrt{21}-3)}4.$$