2. Zadatak

a) Polaznu jednadžbu transformiramo na sljedeći način:

$$\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x-(\sin x+\cos x)=0$$ $$(\sin x+\cos x)^2-(\sin x+\cos x)=0,$$

Uz oznaku $t=\sin x+\cos x$, kvadratna jednadžba $t^2-t=0$ ima dva rješenja: $t_1=0$ i $t_2=1$.

Osim toga je

$$\begin{aligned} t&=\sin x+\cos x=\sin x+\sin\left(\frac\pi2-x\right)\\ &=2\cos\frac\pi4\cdot\cos\left(x-\frac\pi4\right)\\ &=\sqrt2\cdot\cos\left(x-\frac\pi4\right). \end{aligned}$$

Imamo dvije mogućnosti:

$$\begin{aligned} \sqrt2\cdot\cos\left(x-\frac\pi4\right)&=0\\ \cos\left(x-\frac\pi4\right)&=0\\ x-\frac\pi4&=\frac\pi2+k\pi,\quad k\in\mathbb Z\\ x&=\frac{3\pi}4+k\pi,\quad k\in\mathbb Z. \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \sqrt2\cdot\cos\left(x-\frac\pi4\right)&=1\\ \cos\left(x-\frac\pi4\right)&=\frac{\sqrt2}2\\ x-\frac\pi4&=\pm\frac\pi4+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z\\ x&=\frac\pi2+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z\quad\text{ili}\quad x=2k\pi,\quad k\in\mathbb Z \end{aligned}$$

b) Uz oznaku $t=\sin x+\cos x$ dobivamo

$$t^2-t-a=0.$$

Kvadratna jednadžba ima realna rješenja kada je diskriminanta $D=1+4a\ge0$, tj. za $a\ge-\frac14$.

Tada je:

$$t_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1+4a}}2=\sqrt2\cdot\cos\left(x-\frac\pi4\right),$$

odnosno

$$\cos\left(x-\frac\pi4\right)=\frac{1\pm\sqrt{1+4a}}{2\sqrt2}.$$

Da jednadžba ima realna rješenja mora biti

$$-1\le\frac{1\pm\sqrt{1+4a}}{2\sqrt2}\le1$$ $$-2\sqrt2\le1\pm\sqrt{1+4a}\le2\sqrt2$$ $$-2\sqrt2\le1-\sqrt{1+4a}\le1+\sqrt{1+4a}\le2\sqrt2$$

odnosno, moraju biti zadovoljene sljedeće dvije nejednadžbe:

$$-2\sqrt2\le1-\sqrt{1+4a}$$ $$1+\sqrt{1+4a}\le2\sqrt2$$

Prva nejednadžba zadovoljena je za $a\le2+\sqrt2$, a druga za $a\le2-\sqrt2$.

Odatle slijedi $a\le2-\sqrt2$.

Konačno, realna rješenja imamo za $a\in[-\frac14,2-\sqrt2]$.