5. Zadatak

Unutarnji kut pravilnog dvanaesterokuta je $150^\circ$,

pa vrijedi

$$2\alpha+90^\circ=150^\circ,\quad\alpha=30^\circ.$$

Izdvojimo jedan trapez:

Ako su duljine $|AF|=|FE|=|EB|=x$ i $|AB|=1$, tada je

$$|AG|=\frac{1-x}{2}.$$

Trokut $AGF$ je pola jednakostraničnog trokuta stranice duljine $x$, pa njegova visina $|AG|$ iznosi $\frac{x\sqrt3}{2}$.

Zato je

$$\frac{1-x}{2}=\frac{x\sqrt3}{2},$$

odnosno $x(1+\sqrt3)=1$, te konačno

$$x=\frac1{1+\sqrt3}=\frac{\sqrt3-1}{2}.$$

Zato je opseg dvanaesterokuta $O=12x=6(\sqrt3-1)$.

Napomena. Dijelovi ovog zadatka mogu se riješiti na različite načine.