Ako su a, b i c realni brojevi za koje je a+b=0, b+c=0 i a+c=0, dokaži da izraz:
(1+a+bc)(1+b+ca)(1+a+cb)−(a+b)(b+c)(a+c)a3+b3+c3
ne ovisi o vrijednostima brojeva a, b i c.
Rješenje
Dani izraz redom je jednak
a+ba+b+c⋅b+ca+b+c⋅a+ca+b+c−(a+b)(b+c)(a+c)a3+b3+c3=(a+b)(b+c)(a+c)(a+b+c)3−(a3+b3+c3)=(a+b)(b+c)(a+c)[(a+b+c)3−a3]−(b3+c3)=(a+b)(b+c)(a+c)(b+c)[(a+b+c)2+a(a+b+c)+a2]−(b+c)(b2−bc+c2)=(a+b)(b+c)(a+c)(b+c)(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac+a2+ab+ac+a2−b2+bc−c2)=(a+b)(a+c)3(a2+ab+bc+ac)=(a+b)(a+c)3(a(a+b)+c(a+b))=(a+b)(a+c)3(a+b)(a+c)=3.
Promatrani izraz očito ne ovisi o a, b i c.
