4. Zadatak

Iz jednakosti $a+b+c=1$ kvadriranjem dobivamo:

$$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1.$$

Kako je $a^2+b^2+c^2=1$, slijedi $2ab+2bc+2ac=0$, odnosno

$$ab+bc+ac=0.$$

Množenjem jednakosti $a^2+b^2+c^2=1$ i $a+b+c=1$ dobivamo:

$$(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=1,$$ $$a^3+b^3+c^3+a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2=1.$$

Kako je $a^3+b^3+c^3=1$ slijedi

$$a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2=0.$$

Množenjem jednakosti $ab+bc+ac=0$ i jednakosti $a+b+c=1$ dobivamo:

$$(ab+bc+ac)(a+b+c)=0,$$ $$3abc+a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2=0.$$

Kako vrijedi $a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2=0$, slijedi $3abc=0$, odnosno

$$abc=0.$$