1. Zadatak

Parabola ima jednadžbu $y^2=2px$. U točki $T_1(x_1,y_1)$ ona ima tangentu

$$t_1\quad\ldots\quad y_1y=px+px_1.$$

Analogno su jednadžbe tangenata

$$t_2\quad\ldots\quad y_2y=px+px_2,\qquad t_3\quad\ldots\quad y_3y=px+px_3,$$

za koje se lako vidi da imaju sjecište

$$T_{23}=\left(\frac1{2p}y_2y_3,\frac12(y_2+y_3)\right)$$

jer je npr.

$$y_2\cdot\frac12(y_2+y_3)=p\cdot\frac1{2p}y_2y_3+\frac12y_2^2$$

pa je $T_{23}\in t_2$ i slično je $T_{23}\in t_3$.

Pravac $t_1$ ima koeficijent smjera $\dfrac p{y_1}$, pa visina u vrhu $T_{23}$ ima jednadžbu

$$y-\frac12(y_2+y_3)=-\frac{y_1}p\left(x-\frac{y_2y_3}{2p}\right).$$

Ravnalica ima jednadžbu $x=-\dfrac p2$. Iz ove dvije jednadžbe za ordinatu sjecišta visina trokuta $T_{12}T_{13}T_{23}$, s ravnalicom, dobivamo

$$y=\frac12(y_2+y_3)-\frac{y_1}p\left(-\frac p2-\frac{y_2y_3}{2p}\right)=\frac12(y_1+y_2+y_3)+\frac{y_1y_2y_3}{2p^2}.$$

Dobiveni izraz je simetričan po $y_1$, $y_2$, $y_3$, pa slijedi tvrdnja zadatka.