5. Zadatak

Neka je $S$ sjecište simetrala šiljastih kutova pravokutnog trokuta. Označimo $\angle BAC=\alpha$. Tada je $\angle SAB=\frac\alpha2$ i $\angle ABS=\frac{90^\circ-\alpha}{2}=45^\circ-\frac\alpha2$.

Kako je zbroj kutova u trokutu jednak $180^\circ$, slijedi da je $\frac\alpha2+45^\circ-\frac\alpha2+\angle ASB=180^\circ$, odakle je $\angle ASB=135^\circ$.

Neka je $D$ nožište visine povučene iz pravog kuta, a $E$ sjecište simetrale pravog kuta s nasuprotnom stranicom. Prema uvjetu zadatka je $\angle DCE=\frac{135^\circ}9=15^\circ$.

Kako je $CE$ simetrala pravog kuta slijedi da je $\angle ACD=45^\circ-15^\circ=30^\circ$.

Iz pravokutnog trokuta $ADC$ slijedi da je $\angle BAC=\angle DAC=90^\circ-30^\circ=60^\circ$, i konačno, $\angle ABC=90^\circ-60^\circ=30^\circ$.