4. Zadatak

SKICA

Iz omjera $|AK|:|AB|=5:7$ slijedi $7|AK|=5|AB|$,

odakle je $|AK|=\frac57|AB|$, odnosno $|KB|=\frac27|AB|$.

Slično, iz omjera $|DN|:|NC|=2:3$ slijedi $3|DN|=2|NC|$,

odakle je $|DN|=\frac23|NC|$, odnosno $|DN|=\frac25|CD|$.

Uočimo da su trokuti $KBM$ i $DNM$ slični. Ta sličnost slijedi zbog jednakosti $\angle KMB=\angle DMN$ (vršni kutovi) i $\angle KBD=\angle NDB$ (kutovi uz presječnicu $\overline{BD}$).

Iz dokazane sličnosti slijedi $$\frac{|DM|}{|MB|}=\frac{|DN|}{|KB|}=\frac{\frac25|CD|}{\frac27|AB|}=\frac{2\cdot7|AB|}{2\cdot5|AB|}=\frac75,$$ odnosno $|DM|:|MB|=7:5$.