3. Zadatak

SKICA

Trokut $DMB$ je jednakokračan, pa je $\angle BMD=90^\circ-\frac{\angle ABC}{2}$.

Kako je $\angle DMA$ vanjski kut trokuta $DMB$, vrijedi $$\angle DMA=180^\circ-\angle DMB=180^\circ-\left(90^\circ-\frac{\angle ABC}{2}\right)=90^\circ+\frac{\angle ABC}{2}.$$ Kako je trokut $DNC$ jednakokračan, slijedi da je $\angle AND=\frac{\angle BCA}{2}$.

Promatrajmo sada trokut $NAD$. Za kut $\angle NDA$ vrijedi $$\begin{aligned}\angle NDA&=180^\circ-\angle DAN-\angle AND=180^\circ-\frac{\angle BAC}{2}-\frac{\angle BCA}{2}\\&=180^\circ-\frac{\angle BAC+\angle BCA}{2}=180^\circ-\frac{180^\circ-\angle ABC}{2}=90^\circ+\frac{\angle ABC}{2}.\end{aligned}$$ Dakle, $\angle DMA=\angle NDA=90^\circ+\frac{\angle ABC}{2}$, čime je dokaz gotov.