4. Zadatak

Neka su $l_1,l_2,l_3$ udaljenosti točke $S$ do stranica trokuta. Nacrtajmo sliku:

Jasno je da je

$$a\cdot l_1+b\cdot l_2+c\cdot l_3=2\cdot P_{ABC},$$

dakle, konstantan broj.

Zbog A-G nejednakosti vrijedi

$$(al_1)\cdot(bl_2)\cdot(cl_3)\le\left(\frac{a\cdot l_1+b\cdot l_2+c\cdot l_3}{3}\right)^3.$$

Jednakost će biti ispunjena ako je $al_1=bl_2=cl_3$ i tada je vrijednost umnoška $(al_1)\cdot(bl_2)\cdot(cl_3)$ (pa samim tim i umnoška $l_1l_2l_3$) najveća.

Tvrdnja. Ako vrijedi $al_1=bl_2=cl_3$, onda se točka $S$ nalazi u presjeku težišnica trokuta.

Dokaz. Neka je $A_1$ točka u kojoj pravac $AS$ siječe stranicu $\overline{BC}$. Onda je

$$|BA_1|:|A_1C|=P_{BA_1A}:P_{A_1CA}=P_{ASB}:P_{ASC}=cl_3:bl_2=1$$

pa je $\overline{AA_1}$ težišnica trokuta. Analogno se dokaže da $S$ leži i na ostalim težišnicama.