4. Zadatak

Neka je $n^2+2007n=m^2$. Tada je $m=n+k$ za neki cijeli broj $k$, pa iz $n^2+2007n=(n+k)^2$ dobivamo $n=\dfrac{k^2}{2007-2k}$. Kako je $n$ prirodan broj, mora biti $2007-2k>0$, uz uvjet da je $k^2$ djeljiv sa $2007-2k$. Dakle, bit će $k\le1003$. Kako se traži najveći broj $n$, to brojnik razlomka mora biti što veći, a nazivnik što manji, pa se najveći $n$ dobiva za $k=1003$. Tada je $n=\dfrac{1003^2}{1}=1006009$.