2. Zadatak

Neka je $M$ sjecište paralele s pravcem $AB$ kroz točku $D$ i polupravca $p$, te neka je $N$ sjecište paralele s pravcem $CD$ kroz točku $A$ i polupravca $q$.

Zbog sličnosti trokuta $OAB$ i $OMD$ vrijedi $\dfrac{|OM|}{|OA|}=\dfrac{|OD|}{|OB|}$, a zbog sličnosti trokuta $OCD$ i $OAN$ vrijedi $\dfrac{|OA|}{|OC|}=\dfrac{|ON|}{|OD|}$.

Stoga je $|OM|\cdot|OB|=|OA|\cdot|OD|$ i $|OA|\cdot|OD|=|OC|\cdot|ON|$, pa vrijedi i $|OM|\cdot|OB|=|OC|\cdot|ON|$.

Ako je pravac $CD$ paralelan s težišnicom trokuta $OAB$, onda je $\overline{AN}$ težišnica tog trokuta, pa je $N$ polovište dužine $\overline{OB}$.

Sada zbog $|OB|=2|ON|$ iz prethodne jednakosti slijedi $|OC|=2|OM|$, pa je $M$ polovište dužine $\overline{OC}$, tj. $\overline{DM}$ je težišnica trokuta $OCD$, a to je i trebalo pokazati.