1. Zadatak

Prvo rješenje.

Mora biti $\{x\}\cdot x=[x]^2$.

Za $[x]=0$, dobili bismo geometrijski niz 0, 0, 0.

Za $[x]=1$ imamo

$$x\in[1,2),\ \{x\}=x-1\in[0,1)\ \text{i}\ \{x\}\cdot x=1,\ \text{tj.}\ x(x-1)=1.$$

Rješenja kvadratne jednadžbe $x^2-x-1=0$ su $x=\dfrac{1\pm\sqrt5}{2}$, pa zbog $x>0$ imamo $x=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$. (Tada je $\{x\}=\dfrac{\sqrt5-1}{2}$.)

Za $[x]\geq2$ vrijedi

$$[x]^2\geq2[x],$$

a zbog $\{x\}\cdot x<x<[x]+1<2[x]$, je $[x]^2>\{x\}\cdot x$, pa nema drugih rješenja.

Drugo rješenje.

Iz $\dfrac{\{x\}}{[x]}=\dfrac{[x]}x$ slijedi $\dfrac{[x]}{\{x\}}=\dfrac x{[x]}=\dfrac{[x]+\{x\}}{[x]}=1+\dfrac{\{x\}}{[x]}$.

Ako je $[x]\geq2$, na lijevoj strani ove jednakosti je broj veći od 2, a na desnoj broj manji od 2. Zato je $[x]=1$, ($[x]\neq0$).

Sada je $1+\{x\}=\dfrac1{\{x\}}$, tj. $\{x\}^2+\{x\}-1=0$. Rješenja ove kvadratne jednadžbe su $\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}$. Zbog $0\leq\{x\}<1$, slijedi $\{x\}=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$.

Dakle, $x=\dfrac1{\{x\}}=\dfrac{\sqrt5+1}{2}$.