3. Zadatak

Pretpostavimo da elipsa u koordinatnom sustavu ima jednadžbu $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (za neke $a,b>0$), a fokusi imaju koordinate $F_1(-e,0)$, $F_2(e,0)$.

Neka je $P(x_P,y_P)$ bilo koja točka na elipsi, tj.

$$\frac{x_P^2}{a^2}+\frac{y_P^2}{b^2}=1.$$

Težište trokuta $F_1F_2P$ ima koordinate $T\left(\frac{x_P+(-e)+e}3,\frac{y_P+0+0}3\right)$, tj. $T(\frac{x_P}3,\frac{y_P}3)$.

Iz zapisa

$$\frac{(\frac{x_P}3)^2}{(\frac a3)^2}+\frac{(\frac{y_P}3)^2}{(\frac b3)^2}=1$$

možemo pročitati da točka $T$ opisuje elipsu sa središtem u ishodištu te poluosima u smjeru koordinatnih osi, duljina $\frac a3$ i $\frac b3$. (Drugim riječima, $T$ opisuje elipsu koja se dobiva iz polazne elipse homotetijom sa središtem u ishodištu i koeficijentom $\frac13$.)