U jednakokračnom trokutu ABC s krakovima AB i AC, D je polovište osnovice BC. Neka je točka E nožište okomice iz D na stranicu AB, te F polovište dužine DE. Dokaži da je AF okomito na EC.
Rješenje
Prvo rješenje.
AF=AE+EF=AE+21EDCE=CD+DE=DB−ED=DE+EB−ED=EB−2ED.
Kako je AE⊥ED i EB⊥ED slijedi
AF⋅CE=(AE+21ED)⋅(EB−2ED)=AE⋅EB−ED⋅ED.
Računamo
AE⋅EB=(AD−ED)⋅EB=AD⋅EB−0=AD⋅(ED+DB)=AD⋅ED+0
pa je
AF⋅CE=AD⋅ED−ED⋅ED=(AD−ED)⋅ED=AE⋅ED=0
i tvrdnja je dokazana.
Drugo rješenje.
Neka je H točka presjeka AF i CE. Spustimo okomicu iz C na AB i nožište označimo sa G. Tada je trokut EDA sličan trokutu GBC, jer je ∠AED=∠BGC=90∘ i ∠EDA=90∘−∠EDB=∠GBC. Kako je DE∥CG i D polovište od BC, E je polovište od BG. Stoga je CE težišnica trokuta GBC. Također je AF težišnica trokuta EDA pa zbog sličnosti tih trokuta slijedi ∠FAD=∠ECB. Dakle, četverokut HDCA je tetivni i ∠AHC=∠ADC=90∘.
