1. Zadatak

Prvo rješenje.

Prema poučku o sinusima vrijedi.

$$\begin{aligned}\frac{a+b}{c}&=\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\sin\gamma}=\frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{2\sin\frac\gamma2\cos\frac\gamma2}\\&=\frac{2\sin\frac{180^\circ-\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{2\sin\frac\gamma2\cos\frac\gamma2}=\frac{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\sin\frac\gamma2}.\end{aligned}$$

Ako je $\alpha-\beta=90^\circ$, tada je $\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}$. Zato je dovoljno dokazati

$$\sin\frac\gamma2=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac c{a+b}\Leftrightarrow\frac{1-\cos\gamma}{2}=\frac{c^2}{2(a+b)^2}$$

odnosno

$$\cos\gamma=1-\frac{c^2}{(a+b)^2}=\frac{(a+b)^2-c^2}{(a+b)^2}.$$

Uvrstimo li zadanu vrijednost za $c$, imamo

$$\begin{aligned}\cos\gamma&=\frac{(a+b)^2-\frac{(a^2-b^2)^2}{a^2+b^2}}{(a+b)^2}\\&=\frac{(a+b)^2(a^2+b^2)-(a+b)^2(a-b)^2}{(a^2+b^2)(a+b)^2}\\&=\frac{(a+b)^2[(a^2+b^2)-(a-b)^2]}{(a^2+b^2)(a+b)^2}=\frac{2ab}{a^2+b^2}.\end{aligned}$$

Sada je dovoljno dokazati da za zadani trokut vrijedi posljednja jednakost. Prema poučku o kosinusima, za zadane stranice vrijedi

$$\begin{aligned}\cos\gamma&=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{a^2+b^2-\frac{(a^2-b^2)^2}{a^2+b^2}}{2ab}\\&=\frac{(a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2}{2ab(a^2+b^2)}=\frac{4a^2b^2}{2ab(a^2+b^2)}=\frac{2ab}{a^2+b^2}.\end{aligned}$$

Drugo rješenje.

Označimo na stranici $\overline{BC}$ točku $D$ takvu da je $|AD|=|BD|$. Sada treba dokazati da je trokut $ADC$ pravokutan, odnosno

$$b^2+x^2=(a-x)^2$$

gdje je $x=|AD|=\dfrac c{2\cos\beta}$.

Tvrdnja je ekvivalentna s

$$\begin{aligned}b^2&=(a-2x)a=\left(a-\frac c{\cos\beta}\right)a=\left(a-c\frac{2ac}{a^2+c^2-b^2}\right)a\\&=a^2\left(1-\frac{2c^2}{a^2+c^2-b^2}\right),\end{aligned}$$

odnosno s

$$1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{2c^2}{a^2+c^2-b^2}.$$

Invertiranjem dobijemo

$$\frac{a^2}{a^2-b^2}=\frac{a^2-b^2}{2c^2}+\frac12$$

i odavde

$$c^2=\frac{(a^2-b^2)^2}{a^2+b^2}$$

što je ispunjeno uvjetom zadatka. Dakle, $\angle DAC=\alpha-\beta=90^\circ$.