2. Zadatak

Množenjem nejednakosti s $(x+1)(y+1)(z+1)$ dobivamo ekvivalentnu nejednakost

$$(x^2-1)(z+1)+(y^2-1)(x+1)+(z^2-1)(y+1)\geq0,$$

ili, nakon sređivanja,

$$(x^2z+y^2x+z^2y)+(x^2+y^2+z^2)\geq x+y+z+3.$$

Primjenom A-G nejednakosti dobivamo

$$x^2z+y^2x+z^2y\geq3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3.$$

Iz

$$\begin{aligned}(x+y+z)^2&=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\\&\leq x^2+y^2+z^2+x^2+y^2+y^2+z^2+z^2+x^2\\&=3(x^2+y^2+z^2)\end{aligned}$$

dobivamo

$$\begin{aligned}x^2+y^2+z^2&\geq\frac{(x+y+z)^2}{3}\\&=(x+y+z)\frac{x+y+z}{3}\\&\geq(x+y+z)\sqrt[3]{xyz}=x+y+z.\end{aligned}$$

Time je dokazana i polazna nejednakost.