1. Zadatak

Jednadžba se može zapisati u obliku

$$(m+n)(m^2-mn+n^2)=(m+n)^2.$$

Odavde slijedi da su svi parovi $(m,n)=(a,-a)$, $a\in\mathbb Z$ rješenja dane jednadžbe. Za $m\neq-n$, nakon dijeljenja s $m+n$ dobivamo kvadratnu jednadžbu po $m$:

$$m^2-(n+1)m+n^2-n=0.$$

Njezina diskriminanta je $D=(n+1)^2-4(n^2-n)=-3n^2+6n+1$. Da bi rješenja bila realna mora biti $D\geq0$, tj. $\dfrac{3-2\sqrt3}{3}\leq n\leq\dfrac{3+2\sqrt3}{3}$, odakle slijedi $n\in\{0,1,2\}$.

Moramo još promatrati sljedeća tri slučaja:

$1^\circ$ $n=0$: $m^2-m=0$, tj. $m=0$ ili $m=1$;

$2^\circ$ $n=1$: $m^2-2m=0$, tj. $m=0$ ili $m=2$;

$3^\circ$ $n=2$: $m^2-3m+2=0$, tj. $m=1$ ili $m=2$.

Skup cjelobrojnih rješenja dane jednadžbe je

$$\{(a,-a)\mid a\in\mathbb Z\}\cup\{(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,2)\}.$$